Dạng 2. Bài toán có cách giải đặc biệt
1. Tìm các số tự nhiên a và b thoả mãn và (a;b)=1 (Nghĩa là a và b là hai số chỉ chia hết cho 1).
Hướng dẫn giải
Ta có: 140a+196b=174a+145b nên 2a=3b (*)
Vì (a;b)=1 và (2;3)=1 nên (*) xảy ra khi a chia hết cho 3
và b chia hết cho 2 , suy ra a=3p ; b=2q (p;q là số tự nhiên)
Thay vào (*) : 6p=6q , suy ra p=q
Vì (a;b)=1 nên (3p;2q)=1 và p=q , suy ra p=q=1. Vậy a=3 ; b=2.
2. Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: ; ;
2. Ta có 12/21= 4/7, các phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giãn nên tồn tại các số tự nhiên k, l, m sao cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m. Từ các đẳng thức 5k=4n, và 7k = 6m ta có 4n5 và 7n 6 mà (4,5)=1; (7,6)=1 nên
n5, n 6 mặt khác (5,6) =1 do đó n 30
để các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất và phải khác 0 , ta chọn n nhỏ nhất bằng 30 suy ra: k =24, m=35. vậy a=72, b=120, c=210, d=385.
3. Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện: và 8b - 9a = 31
3. Tìm a,b ∈ N sao cho và 8b - 9a = 31
8b - 9a = 31 ⇒ b = ∈ N ⇒ (a-1) 8 ⇒ a = 8q + 1(q ∈ N)
b =
11(9q+5) < 17(8q+1) ⇒ 37q > 38 ⇒ q > 1
29(8q+1) < 23(9q+5) ⇒ 25q < 86 ⇒ q < 4 ⇒ q ∈ {2; 3}
q = 2 ⇒ q = 3 ⇒
4.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28
4. Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 <=> 29(q - p) = 2p + 23
Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1.
Vì a nhỏ nhất hay q-p=1=> p=3; => a=121. Vậy số cần tìm là 121
5. Tìm số tư nhiên nhỏ nhất có chữ số hàng đơn vị là 5, chia cho 11 dư 4, chia cho 13 dư 6 và chia hết cho 7.
5.
Gọi số đó là x. Theo đề bài x là giá trị nhỏ nhất
⇒ 2m + 3 = 11 ⇒ m = 4 ⇒ q = 57 ⇒ x = 35 . 57 =1985
6. Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28
6. Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) a => 42 a => a = 42
7. Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau.
7. Gọi thương và số dư của phép chia đó là a (0< a <75)
Ta có số cần tìm có dạng 75.a+a=76a (1)
Mà số cần tìm là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số (2). Từ (1), (2) số cần tìm là 988
8. Một phép chia có thương bằng 5 và số dư là 12. Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số chia và số dư ta được thương là 3 và số dư là 18. Tìm số bị chia.
8. Gọi số bị chia là a; số chia là b (b ≠ 0)
Phép chia có thương bằng 5 số dư là 12 ⇒ a = 5b+12
Số bị chia chia cho tổng số chia và số dưđược thương là 3 và số dư là 18
⇒ a = (b +12). 3 + 18 = 3b + 54⇒ 5b + 12 = 3b + 54 ⇒ b = 21 ⇒ a = 117. Vậy số bị chia là 117.
9.Chia một số tự nhiên a cho 60 được số dư là 27. Nếu chia a cho 12 thì được thương là 12. Hãy tìm số a.
9.- Do 60 là bội của 12 nên a chia 60 được số dư là 27 thì chia 12 dư 3 ( Số dư của 27 chia 12).
- a chia 12 thì được thương là 12 dư 3 nên a = 12 . 12 + 3 = 147.
- Thử lại và kết luận.
10. Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 : 1,2,3,4,5... Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ?
10. Từ 1->9: có 9 chữ số; Từ 10->99: có (99-10+1)x2=180 chữ số
Từ 100->999: có (999-100+1)x3=2700 chữ số
Vì 189 < 659 < 2889 nên ta đã viết đến các số có 3 chữ số.
Số chữ số dùng để viết các số có 3 chữ số là: 659 – 189 = 470 chữ số.
Số số có 3 chữ số là: 470: 3 = 156 (dư 2)
Điều đó có nghĩa là người ta đã viết được 156 số có 3 chữ số , ngoài ra cón viết được đến chữ số thứ hai của số tiếp theo.
Ta có 99 + 156 = 255, số liền sau 255 là 256, chữ số thứ hai của số này là chữ số 5. Vậy chữ số thứ 659 là chữ số 5.
11. a) Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0 và biểu thức:
M = . Hỏi M có giá trị là số tự nhiên hay không? Vì sao ?
b) Cho M = với a, b,c là các số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng M không thể là số nguyên
11. a) Vì a, b, c, d ∈ N* ⇒ a+b+c < a+b+c+d =>
Tương tự : ; ;
⇒ M >
Vì a, b, c, d ∈ N* ⇒ a + b + c > a + b
Tương tự : ; ;
⇒ M . Vậy 1< M < 2 nên M không là số tự nhiên.
b) Chứng minh
12. Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n =
12. Từ 1; 2; ………; n có n số hạng. Suy ra 1 +2 +…+ n =
Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+…..+n = . Suy ra = = a . 111 = a . 3.37
Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n+1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n+1 Chia hết cho 37
Vì số có 3 chữ số Suy ra n+1 < 74 n = 37 hoặc n+1 = 37
+) Với n= 37 thì ( loại)
+) Với n+1 = 37 thì ( thoả mãn). Vậy n =36 và a=6 Ta có: 1+2+3+…..+ 36 = 666
13. Tìm các chữ số x ,y sao cho: C = chia hết cho 55
13. Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1
Do đó C = 55 <=>
(1) => y = 0 hoặc y = 5
+, y= 0 : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = 7
+, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 ) 11 => x = 1
14. Tìm các chữ số x và y để số chia hết cho 36
14. Để số 36 ( 0 x, y 9 , x, y N )
(x+y+2) 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x =
Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892
15. Tìm các chữ số chia cho 7 và chia cho 8 đều dư 2.
15. :7 và :8 dư 2. Xét b ≥ 2 ⇒ ( –2 ) 7, 8 ⇒ 7, 8 ( c<8 )
4 ⇒ 4 ⇒c = 0,4,8 ⇒ c = 0 ; 4
7⇒ 7 ⇒ ( 100a +c+80 ) 7 ⇒ [ 7( 14a +11 ) +2a +c +3 ] 7
⇒ (2a + c ) :7 dư 4
⇒ 2a +c =4 ; 11 ; 18 ; 25
VÌ C 4 ⇒ ( 2A + C) 2 ⇒ 2A+C =4; 18
8 ⇒( 100a +c ) 8 ⇒ (4a +c ) 8
- Xét c=0 Nếu 2a+ c =4 ⇒ a=2 ⇒ 4a +c = 8 8 ⇒ Thoả mãn
NẾU 2A+ C =18 ⇒ A=9 ⇒ 4A +C = 36 8 ⇒ LOẠI
- Xét c=4 Nếu 2a+ c =4 ⇒ a=0 ⇒ 4a +c = 4 8 ⇒ loại
NẾU 2A+ C =18 ⇒ A=7 ⇒ 4A +C = 32 8 ⇒ THOẢ MÃN
- Xét b=0 ⇒:7, :8 dư 2 ⇒ 7 , 8
Có 78 4 ⇒ 8 ⇒loại
- Xét b=1 ⇒ :7, :8 dư 2 ⇒ 7 , 8
Có 8 ⇒ loại.Vậy a=2, b=2 hoặc a=7,b=6
16. Tìm số có bốn chữ số biết . 10001 = ( Trong đó a; b ; c ; d là các chữ số)
16. . 10001 = . 10000 + = ⇒ =
⇒ c=1 , a=9 , d=8 , b=7⇒ =1987
17. Tìm số tự nhiên x biết tổng các chữ số của x bằng y, tổng các chữ số của y bằng z
và x + y + z = 60.
17.Từ đầu bài ta có x là số có 2 chữ số. Đặt x =
x = 10a + b -> y = a + b, z có 2 trường hợp :
* Nếu y = a + b 9 -> z = a + b ta có : ( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20
b 4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9)
* Nếu y = a + b 10 -> z = a + b – 9 Ta có : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60
-> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7 -> = 44, 47, 50.
18. Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số .
18. Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ; Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99
Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999
Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có: 2006 - 1000 + 1 = 1007 số
Số chữ số của số tự nhiên L là : 9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số )
19. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó vào sau số 2014 ta được số chia hết cho 101.
19. Giả sử n có k chữ số (k1). Ta có 2014=19.101 + 95, do đó:
Suy ra: khi và chỉ khi
Với k= 1 thì khi và chỉ khi nhưng n có một chữ số nên , nên không có số n thỏa mãn đầu bài.
Với k = 2 thì suy ra , và số n nhỏ nhất được xác định bởi 6 + n = 101. Suy ra n = 95 . Đáp số: n = 95 thỏa mãn đề ra.
