Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã
được học về các bài toán liên quan tới phép chia hết của một số tự nhiên cho
một số tự nhiên khác 0 và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương, đó là
số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên (chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16
; 25 ; 121 ; 144 ; …).
Kết hợp các kiến thức trên, các em có
thể giải quyết bài toán : Chứng minh một số không phải là số chính phương. Đây
cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các em đã được học. Những bài toán
này sẽ làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em.
1. Nhìn chữ số tận cùng
Vì
số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số
chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6
; 9. Từ đó các em có thể giải được bài toán kiểu sau đây :
Bài toán 1 : Chứng minh số :
n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương.
Lời giải : Dễ dàng thấy
chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4
; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.
Chú ý : Nhiều khi số đã
cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn
không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa :
Nếu số chính phương chia hết cho số
nguyên tố p thì phải chia hết cho p2.
Bài toán 2 : Chứng minh số
1234567890 không phải là số chính phương.
Lời giải : Thấy ngay số
1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25
(vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính
phương.
Chú ý : Có thể lý luận
1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4
(vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương.
Bài toán 3 : Chứng minh rằng
nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.
Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của
số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ
số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải
là số chính phương.
2. Dùng tính chất của số dư
Chẳng
hạn các em gặp bài toán sau đây :
Bài toán 4 : Chứng minh một
số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương.
Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng”. Vậy
ở bài toán này ta sẽ phải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết về tổng các chữ
số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng lại
không gặp điều “kì diệu” như bài toán 3. Thế thì ta nói được điều gì về số này
? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải.
Lời giải : Vì số chính
phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi (coi như bài tập để
các em tự chứng minh !). Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho
3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.
Tương
tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán :
Bài toán 5 : Chứng minh tổng
các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.
Bài toán 6 : Chứng minh số :
n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số
chính phương.
Bây giờ các em theo dõi bài toán sau để
nghĩ tới một “tình huống” mới.
Bài toán 7 : Chứng minh số :
n = 44
+ 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số
chính phương.
Nhận xét : Nếu xét n chia
cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không “bắt chước”
được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng các em
sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài
toán 1 ; 2. Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3. Một
số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? Các em có thể
tự chứng minh và được kết quả : số dư đó chỉ có thể là 0 hoặc 1. Như vậy
là các em đã giải xong bài toán 7.
3. “Kẹp” số giữa hai số chính phương
“liên tiếp”
Các em có thể thấy rằng : Nếu n là số tự
nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2
thì k không là số chính phương. Từ đó các em có thể xét được các bài toán sau :
Bài toán 8 : Chứng minh số
4014025 không là số chính phương.
Nhận xét : Số này có hai
chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả các
cách làm trước đều không vận dụng được. Các em có thể thấy lời giải theo một
hướng khác.
Lời giải : Ta có 20032
= 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 <
20042. Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương.
Bài toán 9 : Chứng minh A =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0.
Nhận xét : Đối với các em
đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra A + 1 là số chính phương
(đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). Các em lớp 6, lớp 7 cũng có thể chịu
khó đọc lời giải.
Lời giải : Ta có :
A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2
+ 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 +
3n) +1 = (n2 + 3n +1)2.
Mặt
khác :
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A.
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A.
Điều
này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 <
A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2.
Suy ra: A không là số chính
phương.
Các
em có thể rèn luyện bằng cách thử giải bài toán sau :
Bài toán 10 : Hãy tìm số tự
nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số
chính phương.
Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2.
Bài toán 11 : Chứng minh số
235 + 2312 + 232003 không là số chính phương.
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc
phép chia cho 4.
Bài toán 12 : Có 1000 mảnh
bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001
sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng : Không thể
ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chính phương.
Bài toán 13 : Chứng minh rằng
: Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính
phương.
Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4.
Bài toán 14 : Chứng minh rằng
số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính
phương.
Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … một
chục (?)
Bài toán 15 : Lúc đầu có hai
mãnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn
mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là
một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?
Để
kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi môn toán ngay từ đầu
bậc THCS và cho tôi được nói riêng với các quý thầy cô : nguyên tắc chung để
chứng minh một số tự nhiên không là số chính phương, đó là dựa vào một trong
các điều kiện cần để một số là số chính phương (mà như các quý thầy cô đã biết
: mọi điều kiện cần trên đời là dùng để … phủ định !). Từ đó các quý thầy cô có
thể sáng tạo thêm nhiều bài toán thú vị khác.
Tên sách: 50 đề thi học
sinh giỏi toán 6
Link Google Play: https://play.google.com/store/books/details?id=oZnKCwAAQBAJ
Nội dung trên được trích một phần nhỏ trong quyển
sách sau. Tác giả mởi bạn tìm đọc.
Tên sách: Bộ đề thi học sinh giỏi toán 6
Link Google Play:
https://play.google.com/store/books/details?id=Pz-7CwAAQBAJ
Giá: 9.000 đồng
Số trang: 123
Mã nhúng: <iframe frameborder="0"
scrolling="no" style="border:0px"
src="https://books.google.com.vn/books?id=Pz-7CwAAQBAJ&lpg=PA5&hl=vi&pg=PA29&output=embed"
width=500 height=500></iframe>
Tên sách: 50 đề thi học
sinh giỏi toán 6
Link Google Play: https://play.google.com/store/books/details?id=oZnKCwAAQBAJ
Link Google Book: https://books.google.com.vn/books?id=oZnKCwAAQBAJ&lpg=PA1&hl=vi&pg=PA1#v=onepage&q&f=false
Giá: 18.000 đồng
Số trang: 222
Mã nhúng:
<iframe frameborder="0"
scrolling="no" style="border:0px"
src="https://books.google.com.vn/books?id=oZnKCwAAQBAJ&lpg=PA1&hl=vi&pg=PA1&output=embed"
width=500 height=500></iframe>
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét