Trong chương trình số học lớp 6, sau khi
học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các
bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có
các dữ kiện về ƯCLN và BCNN.
Phương
pháp chung để giải :
1/
Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã
cho để tìm hai số.
2/
Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và
tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó
(a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này
không khó :
Theo
định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+
; (m, n) = 1 (*)
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a,
b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)
Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa.
Bài toán 1 : Tìm hai số
nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời giải : Do vai trò của
a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.
Từ
(*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+
; (m, n) = 1.
Theo
định nghĩa BCNN :
[a,
b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.
=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.
Chú ý : Ta có thể áp
dụng công thức (**) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162
= 240.16 suyy ra mn = 15.
Bài toán 2 : Tìm hai số
nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.
Lời giải : Lập luận như
bài 1, giả sử a ≤ b.
Do
(a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m
≤ n.
Vì
vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n
= 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18.
Bài toán 3 : Tìm hai số
nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.
Lời giải :
Từ
(**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.
Tìm
được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.
Kết
quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.
Chú ý : Ta có thể tính
(a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2
= 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.
Bài toán 4 : Tìm hai số
nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5.
Lời giải : Theo (*), (a,
b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1.
Vì
vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a =
65 và b = 25.
Chú ý : phân số tương
ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1.
Bài toán 5 : Tìm a, b biết
a/b = 4/5 và [a, b] = 140.
Lời giải : Đặt (a, b) = d.
Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.
Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d
= 7 => a = 28 ; b = 35.
Bài toán 6 : Tìm hai số
nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16.
Lời giải : Lập luận như
bài 1, giả sử a ≤ b.
Ta
có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì
vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8
Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80
Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80
Bài toán 7 : Tìm a, b biết a
+ b = 42 và [a, b] = 72.
Lời giải : Gọi d = (a, b)
=> a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b
=> m ≤ n.
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là ước chung của 42 và 72 =>
d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1)
và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và
mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa mãn các điều kiện của m, n). Vậy d = 6 và
a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài toán 8 : Tìm a, b biết a
- b = 7, [a, b] = 140.
Lời
giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m,
n) = 1.
Do
đó : a - b = d(m - n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
=>
d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}.
Thay
lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy
nhất :
d
= 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
Vậy
d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .
Bài tập tự giải :
1/
Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45.
2/
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúng bằng 16 và chúng có các
chữ số hàng đơn vị giống nhau.
3/
Cho hai số tự nhiên a và b. Tìm tất cả các số tự nhiên c sao cho trong ba số,
tích của hai số luôn chia hết cho số còn lại.
______________________
Nội dung trên được trích một phần nhỏ trong quyển sách sau. Tác giả mởi bạn tìm đọc.
Tên sách: Bộ đề thi học sinh giỏi toán 6
Link Google Play: https://play.google.com/store/books/details?id=Pz-7CwAAQBAJ
Giá: 9.000 đồng
Số trang: 123
Mã nhúng: <iframe frameborder="0" scrolling="no" style="border:0px" src="https://books.google.com.vn/books?id=Pz-7CwAAQBAJ&lpg=PA5&hl=vi&pg=PA29&output=embed" width=500 height=500></iframe>
Tên sách: 50 đề thi học sinh giỏi toán 6
Link Google Play: https://play.google.com/store/books/details?id=oZnKCwAAQBAJ
Link Google Book: https://books.google.com.vn/books?id=oZnKCwAAQBAJ&lpg=PA1&hl=vi&pg=PA1#v=onepage&q&f=false
Giá: 18.000 đồng
Số trang: 222
Mã nhúng:
<iframe frameborder="0" scrolling="no" style="border:0px" src="https://books.google.com.vn/books?id=oZnKCwAAQBAJ&lpg=PA1&hl=vi&pg=PA1&output=embed" width=500 height=500></iframe>
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét