Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được.

Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS.

Chúng ta xuất phát từ tính chất sau :

Tính chất 1 :

a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.

Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a^m, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.

- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9, vì a^m = a^{4n + r} = a⁴ⁿ.a^r với r = 0, 1, 2, 3 nên từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của a^r.

- Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.a^r.

Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số :
a) 7⁹⁹ b) 14¹⁴¹⁴ c) 4⁵⁶⁷

Lời giải :
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :
9⁹ - 1 = (9 - 1)(9⁸ + 9⁷ + … + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 7⁹⁹ = 7^{4k + 1} = 7^4k.7
Do 7^4k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 7⁹⁹ có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 14¹⁴ = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 14¹⁴¹⁴ = 14^4k có chữ số tận cùng là 6.
c) Ta có 5⁶⁷ - 1 chia hết cho 4 => 5⁶⁷ = 4k + 1 (k thuộc N)
=> 4⁵⁶⁷ = 4^{4k + 1} = 4^4k.4, theo tính chất 1d, 4^4k có chữ số tận cùng là 6 nên 4⁵⁶⁷ có chữ số tận cùng là 4.

Tính chất sau được => từ tính chất 1.

Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.

Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + … + 2004⁸⁰⁰⁹.

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n^{4(n - 2) + 1}, n thuộc {2, 3, …, 2004}).

Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :

(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009.

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.

Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3.

Tính chất 3 :

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.

Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + … + 2004⁸⁰¹¹.

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n^{4(n - 2) + 3}, n thuộc {2, 3, …, 2004}).

Theo tính chất 3 thì 2³ có chữ số tận cùng là 8 ; 3⁷ có chữ số tận cùng là 7 ; 4¹¹ có chữ số tận cùng là 4 ; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.

* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo.

Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n² + n + 1 chia hết cho 1995²⁰⁰⁰.

Lời giải : 1995²⁰⁰⁰ tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n² + n + 1 có chia hết cho 5 không ?

Ta có n² + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n² + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n² + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n² + n + 1 không chia hết cho 5.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n² + n + 1 chia hết cho 1995²⁰⁰⁰.

Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau :

Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :

a) M = 19^k + 5^k + 1995^k + 1996^k (với k chẵn)

b) N = 2004^2004k + 2003

Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán :

Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p⁸ⁿ +3.p⁴ⁿ - 4 chia hết cho 5.

* Các bạn hãy giải các bài tập sau :

Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia :

a) 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + … + 2003⁸⁰⁰⁵ cho 5

b) 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + … + 2003⁸⁰⁰⁷ cho 5

Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y :

X = 2² + 3⁶ + 4¹⁰ + … + 2004⁸⁰¹⁰

Y = 2⁸ + 3¹² + 4¹⁶ + … + 2004⁸⁰¹⁶

Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :

U = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + … + 2005⁸⁰¹³

V = 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + … + 2005⁸⁰¹⁵

Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn :

19^x + 5^y + 1980z = 1975⁴³⁰ + 2004.

* Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này.

* Tìm hai chữ số tận cùng

Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.

Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.

Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a^m như sau :

Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = a^m ∶ 2^m. Gọi n là số tự nhiên sao cho a^{n - 1} ∶ 25.

Viết m = pⁿ + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a^q ∶ 4 ta có :

x = a^m = a^q(a^pn - 1) + a^q.

Vì a^{n - 1} ∶ 25 => a^pn - 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên a^q(a^pn - 1) ∶ 100.

Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.

Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a^{n - 1} ∶ 100.

Viết m = uⁿ + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :

x = a^m = a^v(a^un - 1) + a^v.

Vì aⁿ - 1 ∶ 100 => a^un - 1 ∶ 100.

Vậy hai chữ số tận cùng của a^m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a^v. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của a^v.

Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của a^q và a^v.

Bài toán 7 :

Tìm hai chữ số tận cùng của các số :

a) a²⁰⁰³ b) 7⁹⁹

Lời giải : a) Do 2²⁰⁰³ là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2ⁿ - 1 ∶ 25.

Ta có 2¹⁰ = 1024 => 2¹⁰ + 1 = 1025 ∶ 25 => 2²⁰ - 1 = (2¹⁰ + 1)(2¹⁰ - 1) ∶ 25 => 2³(2²⁰ - 1) ∶ 100. Mặt khác :
2²⁰⁰³ = 2³(2²⁰⁰⁰ - 1) + 2³ = 2³((2²⁰)¹⁰⁰ - 1) + 2³ = 100k + 8 (k Є N).

Vậy hai chữ số tận cùng của 2²⁰⁰³ là 08.

b) Do 7⁹⁹ là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7ⁿ - 1 ∶ 100.

Ta có 7⁴ = 2401 => 74 - 1 ∶ 100.

Mặt khác : 9⁹ - 1 ∶ 4 => 9⁹ = 4k + 1 (k Є N)

Vậy 7⁹⁹ = 7^{4k + 1} = 7(7^4k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07.

Bài toán 8 :

Tìm số dư của phép chia 3⁵¹⁷ cho 25.

Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3⁵¹⁷. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3ⁿ - 1 ∶ 100.

Ta có 3¹⁰ = 9⁵ = 59049 => 3¹⁰ + 1 ∶ 50 => 3²⁰ - 1 = (3¹⁰ + 1) (3¹⁰ - 1) ∶ 100.

Mặt khác : 5¹⁶ - 1 ∶ 4 => 5(5¹⁶ - 1) ∶ 20
=> 5¹⁷ = 5(5¹⁶ - 1) + 5 = 20k + 5 =>3⁵¹⁷ = 3^{20k + 5} = 3⁵(3^20k - 1) + 3⁵ = 3⁵(3^20k - 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là 43.

Vậy số dư của phép chia 3⁵¹⁷ cho 25 là 18.

Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.

Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng.

Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.

Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh).

______________________

Nội dung trên được trích một phần nhỏ trong quyển sách sau. Tác giả mởi bạn tìm đọc.

Tên sách: Bộ đề thi học sinh giỏi toán 6

Link Google Play: https://play.google.com/store/books/details?id=Pz-7CwAAQBAJ

GB: http://books.google.com/books/about?id=Pz-7CwAAQBAJ

Giá: 9.000 đồng

Số trang: 123

Mã nhúng: <iframe frameborder="0" scrolling="no" style="border:0px" src="https://books.google.com.vn/books?id=Pz-7CwAAQBAJ&lpg=PA5&hl=vi&pg=PA29&output=embed" width=500 height=500></iframe>